位相空間における不連結性の概念とStone-Čechコンパクト化の諸性質

補題 1.11 の証明:
定義より、任意の clopen 集合は連結成分全体を含むため、常に $C_x \subset Q_x$ である。 $Q_x = C_x$ を示すためには、 $Q_x$ 自体が連結集合であることを示せば十分である。
仮に $Q_x$ が不連結であると仮定する。このとき、 $Q_x = F_1 \cup F_2$ と表せる。ここで $F_1, F_2$ は $Q_x$ の非空な閉集合であり、 $F_1 \cap F_2 = \varnothing$ かつ $x \in F_1$ とする。 $Q_x$ は $K$ の閉集合の交わりであるため $K$ における閉集合であり、したがって $F_1, F_2$ も $K$ の閉集合である。
$K$ はコンパクト Hausdorff 空間であるため正規空間である。よって、互いに交わらない閉集合 $F_1, F_2$ に対して、 $F_1 \subset U_1$ , $F_2 \subset U_2$ かつ $U_1 \cap U_2 = \varnothing$ を満たす $K$ の開集合 $U_1, U_2$ が存在する。
$K \smallsetminus (U_1 \cup U_2)$ は $K$ の閉集合であり、 $Q_x$ と交わらない。 $Q_x$ は $x$ を含む $K$ のすべての clopen 集合の共通部分であるため、 $$ \bigcap \{ C \cap (K \smallsetminus (U_1 \cup U_2)) \mid C \text{ は } K \text{ の clopen 集合}, x \in C \} = \varnothing $$ が成立する。 $K \smallsetminus (U_1 \cup U_2)$ はコンパクト空間 $K$ の閉部分集合であるからコンパクトである。有限交叉性により、有限個の clopen 集合 $C_1, \ldots, C_n$ が存在して、 $C_0 = \bigcap_{i=1}^n C_i$ とおくと $C_0 \cap (K \smallsetminus (U_1 \cup U_2)) = \varnothing$ となる。すなわち $x \in C_0 \subset U_1 \cup U_2$ となる。
$W = C_0 \cap U_1$ とおくと、 $W$ は $K$ の開集合である。また $C_0 \cap U_2 = C_0 \smallsetminus U_1$ は $C_0$ における閉集合であり、 $C_0$ が $K$ の閉集合であることから $K$ の閉集合である。したがって $W = C_0 \smallsetminus (C_0 \cap U_2)$ は $K$ の閉集合でもある。ゆえに $W$ は $x \in W$ を満たす $K$ の clopen 集合である。
準成分の定義より $Q_x \subset W \subset U_1$ となるが、これは $F_2 \subset Q_x$ かつ $F_2 \cap U_1 = \varnothing$ であることに矛盾する。したがって $Q_x$ は連結であり、 $C_x = Q_x$ が示された。

補題 1.12 の証明:
任意の $y \in U$ を取る。 $y \in \overline{U \cap D}$ であることを示すには、 $y$ の任意の開近傍 $W$ に対して $W \cap (U \cap D) \neq \varnothing$ となることを示せばよい。
$y \in U$ であるから、 $W \cap U$ は $y$ を含む $Y$ の開集合であり、特に空でない開集合である。 $D$ は $Y$ で稠密であるから、稠密性の定義より $(W \cap U) \cap D \neq \varnothing$ である。集合の結合則により $W \cap (U \cap D) \neq \varnothing$ となる。ゆえに $y \in \overline{U \cap D}$ であり、 $U \subset \overline{U \cap D}$ が成り立つ。

証明:
$X$ をゼロ次元かつ $T_0$ である空間とする。
まず $X$ が Hausdorff であることを示す。 $x, y \in X$ を $x \neq y$ を満たす任意の異なる2点とする。 $X$ は $T_0$ であるため、一方の点を含み他方の点を含まない開集合が存在する。一般性を失わず、 $x \in U$ かつ $y \notin U$ を満たす開集合 $U$ が存在すると仮定する。 $X$ はゼロ次元であるため、定義 1.3 および定義 1.1 より、 $x \in V \subset U$ を満たす clopen 集合 $V$ が存在する。 $V \subset U$ より $y \notin V$ である。したがって $V$ と $X \smallsetminus V$ は互いに交わらない開集合であり、 $x \in V$ かつ $y \in X \smallsetminus V$ となる。ゆえに $X$ は Hausdorff である。 Hausdorff 空間においてはすべての1点集合は閉集合となる。

次に Tychonoff であることを示す。任意の閉集合 $F \subset X$ と $x \notin F$ なる点 $x \in X$ を取る。 $X \smallsetminus F$ は $x$ を含む開集合であるため、ゼロ次元性から $x \in W \subset X \smallsetminus F$ を満たす clopen 集合 $W$ が存在する。関数 $f: X \to [0, 1]$ を次のように定義する。 $$ f(z) = \begin{cases} 0 & (z \in W) \\ 1 & (z \in X \smallsetminus W) \end{cases} $$ $W$ および $X \smallsetminus W$ はともに $X$ の開集合であるから、この関数 $f$ は連続である。また $x \in W$ より $f(x) = 0$ であり、 $F \subset X \smallsetminus W$ より $F$ 上の任意の点 $z$ に対して $f(z) = 1$ となる。ゆえに $X$ は Tychonoff 空間である。

最後に完全不連結であることを示す。 $X$ のある連結成分 $C$ が異なる2点 $x, y$ を持つと仮定する。上記と同様に $x \in V$ かつ $y \notin V$ なる clopen 集合 $V$ が存在する。このとき $C \cap V$ と $C \cap (X \smallsetminus V)$ は $C$ の相対位相においてともに空でない開集合であり、 $C$ を互いに交わらない2つの部分集合に分割する。これは $C$ が連結であることに矛盾する。よってすべての連結成分は1点集合であり、 $X$ は完全不連結である。

証明:
$X$ を完全不連結かつ局所コンパクト Hausdorff な空間とする。任意の点 $x \in X$ と $x$ を含む任意の開集合 $U$ を取る。局所コンパクト Hausdorff 空間の性質により、 $x \in V \subset K \subset U$ を満たす開集合 $V$ とコンパクト閉集合 $K$ が存在する。

$K$ に相対位相を入れた空間はコンパクト Hausdorff 空間である。 $X$ が完全不連結であるため、 $K$ における $x$ の連結成分 $C_x^K$ も 1点集合 $\{x\}$ に一致する。補題 1.11 より、コンパクト Hausdorff 空間 $K$ において連結成分と準成分は一致するため、 $x$ を含む $K$ のすべての clopen 集合の共通部分は $\{x\}$ となる。

$K \smallsetminus V$ は $K$ の閉集合であり、 $x \notin K \smallsetminus V$ である。したがって、 $x$ を含む $K$ のすべての clopen 集合の族と $K \smallsetminus V$ との共通部分は空集合 $\varnothing$ である。 $K \smallsetminus V$ はコンパクト空間 $K$ の閉部分集合ゆえコンパクトであるため、有限交叉性により、 $x$ を含む $K$ の有限個の clopen 集合 $C_1, \ldots, C_n$ が存在して、 $$ \left( \bigcap_{i=1}^n C_i \right) \cap (K \smallsetminus V) = \varnothing $$ を満たす。 $W = \bigcap_{i=1}^n C_i$ とおくと、 $W$ は $x$ を含む $K$ の clopen 集合であり、 $W \subset V$ が成り立つ。

$W$ は $K$ の閉集合であり、 $K$ が $X$ の閉集合であることから、 $W$ は $X$ においても閉集合である。一方、 $W \subset V$ より $W$ は開集合 $V$ の相対開集合であり、 $V$ が $X$ の開集合であることから、 $W$ は $X$ の開集合でもある。ゆえに $W$ は $X$ の clopen 集合であり、 $x \in W \subset U$ を満たす。したがって $X$ はゼロ次元である。

証明:
$X$ を超不連結かつ Hausdorff な空間とする。 $X$ のある連結成分 $C$ が異なる2点 $x, y$ を持つと仮定する。 $X$ は Hausdorff であるため、 $x \in U$ , $y \in V$ かつ $U \cap V = \varnothing$ を満たす開集合 $U, V$ が存在する。

$U \cap V = \varnothing$ より $U \subset X \smallsetminus V$ である。 $X \smallsetminus V$ は閉集合であるから、 $\overline{U} \subset X \smallsetminus V$ が成り立つ。 $X$ は超不連結であるため、定義 1.7 より開集合 $U$ の閉包 $\overline{U}$ は clopen 集合である。

$x \in U \subset \overline{U}$ であり、また $\overline{U} \cap V = \varnothing$ より $y \notin \overline{U}$ である。したがって $\overline{U}$ は $x \in \overline{U}$ かつ $y \notin \overline{U}$ を満たす clopen 集合である。このとき $C \cap \overline{U}$ と $C \cap (X \smallsetminus \overline{U})$ は $C$ の非空な相対開集合分割を与え、 $C$ の連結性に矛盾する。よってすべての連結成分は1点集合であり、 $X$ は完全不連結である。

証明:
$X$ を超不連結かつ正則な空間とする。任意の点 $x \in X$ と $x$ を含む任意の開集合 $U$ を取る。

$X$ は正則であるため、定義 1.8 より $x \in V \subset \overline{V} \subset U$ を満たす開集合 $V$ が存在する。 $X$ は超不連結であるため、開集合 $V$ の閉包 $\overline{V}$ は clopen 集合である。

$W = \overline{V}$ とおけば、 $W$ は $x \in W \subset U$ を満たす clopen 集合となる。ゆえに $X$ は clopen 集合からなる開基を持ち、ゼロ次元である。

証明:
$X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間とする。局所コンパクト Hausdorff 空間は正則空間である。

まず「超不連結 $\Rightarrow$ ゼロ次元」を示す。 $X$ は正則であるため、命題 (d) より $X$ が超不連結ならば $X$ はゼロ次元である。

次に「ゼロ次元 $\Leftrightarrow$ 完全不連結」を示す。 $X$ がゼロ次元であるとき、 $X$ は Hausdorff ゆえ $T_0$ を満たすため、命題 (a) より $X$ は完全不連結である。逆に $X$ が完全不連結であるとき、局所コンパクト Hausdorff 性より、命題 (b) から $X$ はゼロ次元となる。同値性が示された。

証明:
証明を以下の3段階に分けて行う。

第1段階: $i$ は単射である
$x, y \in X$ を $x \neq y$ を満たす任意の2点とする。 $X$ は離散空間であるため、 $X$ から任意の位相空間への写像はすべて連続である。コンパクト Hausdorff 空間として実閉区間 $[0, 1]$ を取る。写像 $f: X \to [0, 1]$ を $f(x) = 0$ かつ $z \neq x$ なる任意の $z \in X$ に対し $f(z) = 1$ と定義すると、 $f$ は連続である。

Stone-Čech コンパクト化の定義 3.1 より、連続写像 $\phi: \beta X \to [0, 1]$ で $\phi \circ i = f$ を満たすものが存在する。このとき $$ \phi(i(x)) = f(x) = 0, \quad \phi(i(y)) = f(y) = 1 $$ であり、 $0 \neq 1$ より $i(x) \neq i(y)$ である。したがって $i$ は単射である。

第2段階: $i(X)$ は $\beta X$ で稠密である
仮に $\overline{i(X)} \subsetneq \beta X$ であると仮定すると、 $p \in \beta X \smallsetminus \overline{i(X)}$ が存在する。 $\beta X$ はコンパクト Hausdorff 空間であるため Tychonoff 空間である。したがって、連続写像 $g: \beta X \to [0, 1]$ で $g(\overline{i(X)}) = \{0\}$ かつ $g(p) = 1$ を満たすものが存在する。

一方で、定数写像 $h: \beta X \to [0, 1]$ をすべての $z \in \beta X$ に対し $h(z) = 0$ と定義すると、 $h$ も連続である。 $c: X \to [0, 1]$ を定数 $0$ 写像とすると、 $g \circ i = c$ および $h \circ i = c$ が成り立つ。

しかし $g(p) = 1 \neq 0 = h(p)$ より $g \neq h$ であり、これは普遍性における連続写像の一意性に矛盾する。したがって $\overline{i(X)} = \beta X$ であり、 $i(X)$ は $\beta X$ で稠密である。

第3段階: $\beta X$ は超不連結である
$\beta X$ の任意の開集合 $U$ を取る。 $V = \beta X \smallsetminus \overline{U}$ とおくと、 $V$ は $\beta X$ の開集合であり、 $U \cap V = \varnothing$ である。

$A = i^{-1}(U)$ および $B = i^{-1}(V)$ とおく。これらは $X$ の部分集合であり、 $U \cap V = \varnothing$ より $A \cap B = \varnothing$ である。 $X$ は離散空間であるため、 $A$ は $X$ の clopen 集合である。

離散位相を入れた2点集合 $\{0, 1\}$ はコンパクト Hausdorff 空間である。写像 $F: X \to \{0, 1\}$ を $a \in A$ に対して $F(a) = 0$ 、 $x \in X \smallsetminus A$ （これには $B$ が含まれる）に対して $F(x) = 1$ と定義すると、 $X$ が離散空間であることから $F$ は連続である。

Stone-Čech コンパクト化の普遍性により、連続写像 $\Phi: \beta X \to \{0, 1\}$ で $\Phi \circ i = F$ を満たすものが一意に存在する。 $Z_0 = \Phi^{-1}(0)$ , $Z_1 = \Phi^{-1}(1)$ とおくと、これらは $\beta X$ の互いに交わらない clopen 集合であり、 $\beta X = Z_0 \cup Z_1$ となる。また定義より $i(A) \subset Z_0$ かつ $i(B) \subset Z_1$ である。

ここで第2段階より $i(X)$ は $\beta X$ で稠密である。開集合 $U$ および稠密集合 $i(X)$ に対して補題 1.12 を適用すると、 $$ U \subset \overline{U \cap i(X)} = \overline{i(A)} $$ が得られる。 $i(A) \subset Z_0$ であり $Z_0$ は閉集合であるから、 $\overline{i(A)} \subset Z_0$ である。ゆえに $U \subset Z_0$ であり、両辺の閉包をとることで $\overline{U} \subset Z_0$ を得る。

同様に開集合 $V$ に対して補題 1.12 を適用すると、 $$ V \subset \overline{V \cap i(X)} = \overline{i(B)} \subset Z_1 $$ が得られる。 $V = \beta X \smallsetminus \overline{U}$ であったから、 $\beta X \smallsetminus \overline{U} \subset Z_1$ である。

一方、 $\overline{U} \subset Z_0$ の補集合をとると $\beta X \smallsetminus \overline{U} \supset \beta X \smallsetminus Z_0 = Z_1$ である。両者の包含関係を合わせると、 $$ \beta X \smallsetminus \overline{U} = Z_1 $$ となり、したがって $\overline{U} = \beta X \smallsetminus Z_1 = Z_0$ を得る。

$Z_0$ は clopen 集合であるから、 $\overline{U}$ も clopen 集合である。ゆえに $\beta X$ の任意の開集合の閉包は clopen 集合となり、 $\beta X$ は超不連結である。